Когда-то, в бытность мою в аспирантуре я услышал одну красивую легенду. Насколько она парвдива судить не берусь, но рассказываа ее профессура.

Однажды в ресторанчике после какого-то симпозиума господа академики - цвет мировой науки - решили пошалить, и в качестве разминки ума поставили себе задачку - рассчитать каким будет конец света. Люди они грамотные методологию науки даже по пьяни помнят, а потому очень шустро формализировали задачу - выислить условия при которых население планеты в короткий период кардинально сократится. Сюда же начали подтягивать соображения насчет роста численности, добычи и истощения ресурсов, связанные с ними войны, прогнозы технологических прорывов и так далее. Математический аппарат, построенный для решения этих задачч называется "Теорией катастроф" В настоящее время эти исследования поддерживаются Римским клубом.

Бифуркация – в простейшем случае это излом, перегиб, раздвоение, то есть качественное изменение функции при очень незначительном изменении аргумента. Например 1000С, это точка бифуркации при которой вода закипает и переходит из жидкости в пар, то есть изменяется качественно. Вот этот самый бурный процесс изменения агрегатного состояния (кипения) и называют катастрофой. При этом простое испарение воды из миски, что тоже, собственно говоря, изменение агрегатного состояния, катастрофой не является.

Очень полезным для нас является понятие каскада бифуркаций, то есть последовательность не единичных и не периодических качественных изменений ( бросков, если хотите) системы, при котором наступает переход от порядка к хаосу. Мы к нему еще вернемся попозже, хотя теория хаоса это отдельная область математики.

Дифференциальные уравнения еще называют динамическими. Что бы было понятно, вспомним школьный пример. Сбросим счетчик спидометра в 0 и, начиная движение автомобиля, будем записывать его показания каждую, скажем, минуту. Понятно, что показания счетчика с течением времени будут увеличиваться (для простоты я откидываю движение задним ходом). Если мы нарисуем график движения (пройденное расстояния в зависимости от времени) то на нем будут или возрастающие участки (там, где мы движемся), или горизонтальные (где стоим).
 
Интересный результат получится, если мы начнем исследовать разницу между значениями пути за равные промежутки скорости. Дифференциал, кстати, и переводится как разница. В нашем случае разница показаний счетчика (то есть пройденный путь) за единицу времени даст нам скорость. То если продифференцировать (говорят – взять производную) график пути, мы получим график скоростей. А взяв разницу в скоростях за единицу времени, получим график ускорений. В таких случаях говорят, что первая производная от функции (графика) движения – это скорость. А первая производная от скорости (вторая от движения) это ускорение. А вот это уже интересно. Потому что согласно дедушке Ньютону, раз есть ускорения, то есть и силы.
 
Иными словами, дифференциальное исчисление как раз помогает в изучении движущихся, развивающихся, то есть динамических систем, при этом не имеет значения какие именно системы и какие именно силы. График роста населения планеты – точно такая же функция, как и график движения, и может быть исследована точно так же. И поскольку рост населения не является равномерным, то можно говорить об ускорениях, а значит и о силах, влияющих на количество живущих на земле.
 
При этом на графиках функций могут возникать так называемые особые точки – переломы и разрывы. Как правило, они означают качественное изменение объекта или системы. Например, если вы прижмете педальку и въедете в столбик, то график скорости покажет практически моментальное изменение скорости с 200 км/час до 0, а график ускорения покажет всплеск, указывающий на возникновении сил, при которых мозги растекаются по черепной коробке. Вот такой всплеск, излом, разрыв или прерывание и называют особенной точкой, точкой бифуркации, или, в наших терминах катастрофой. При этом в точке бифуркации производная функции либо равна либо нулю, либо бесконечности, либо не существует.