Рассмотрим функцию
вида V =x⁴ +ax³ + bx

Ниче особенного, самая рядовая функция, гладкая, без всяких разрывов, то есть производная существует всегда. Но зато на ней мы можем разобрать еще парочку понятий из теории катастроф.

Для начала математика. V – это значение функции, х – это ее аргумент, a и  b – назовем их параметрами. Понятно, что при разных значениях параметров график функции V и график ее производных будет иметь разный вид. Поскольку нас интересуют катастрофы, то нам интересно выяснить значения x, при которых производная равна 0 (признак бифуркации, если помним), а заодно проследить, как на такие решения влияют параметры a и b. Так как решение дифференциальных уравнений это та еще задачка, я просто приведу график получившихся решений в координатах x-a-b.


Здесь x – это значение аргумента при которых производная функции равна нулю, то есть имеет место перегиб функции (просто перегиб, не обязательно
катастрофа). Понятно, что это значение будет зависеть от параметров. В этом контексте параметры a и  b называют управляющими, а плоскость ab – пространством управления (в данном случае двумерным). Обратите внимание, что при значениях a>0 уравнение решается при одном единственном значении х, а при a<0 уравнение имеет решение при двух значениях х. Иными словами, существует область управляющего пространства, при которых решение функции качественно разное, при одних и тех же воздействиях. Вот это и есть область катастроф. Взгляните на синюю линию. Она как раз разделяет области с одним и двумя устойчивыми решениями. Что напоминает? Вилку. Вот ту самую вилку истории, о которой мы с вами и беседуем. Острие вилки и есть точка катастрофы (говорят еще, точка возврата). Изменив управляющее воздействие можно получить один или другой вариант развития. Что это для нас значит? Главный вывод – любая катастрофа управляема.

Если понимать физический смысл абстрактной на первый взгляд функции, то можно целенаправленно выбирать между двумя устойчивыми решениями. А это решение и есть ветка реальности – вариант развития истории. Создав каскад управляемых катастроф, можно добиться управляемого хаоса. Как видим, словечко, применяемое для описания политики США в странах третьего мира – вполне себе математический термин.

При умеренных пинках (это область a>0) собака будет плавненько переходить от испуга к агрессии (в зависимости от характера воздействия и характера собаки, разумеется). При более высоких порядках раздражителей – стрессах (область а<0) собака, если она изначально испугалась, будет наращивать состояние страха до тех пор, пока не достигнет точки возврата -  острия вилки, после чего ее состояние спонтанно переключится в агрессию и злобу, причем в этом режиме она будет оставаться, если даже постепенно уменьшать давление на нее. Управляющим моментом в воспитании собаки является дрессировка, при которой переключение режима будет происходить как можно позже (или как можно раньше, в зависимости от цели дрессировки).

Могу сделать предположение, что эта же функция описывает поведение черного (только ли?) отморозка, вооруженного пистолетом, а дополнительным управляющим фактором может быть степень его обкуренности.

Предсказывающим решением является вычисление значение а для различных групп населения, то есть выяснение при каких обстоятельствах плавное возрастание озлобленности перерастет в спонтанную агрессию (вспомним, что русские долго запрягают – a>0, а средний афроамериканец имеет а<<0
и переключается в состояние агрессии в любой произвольный момент времени).

Сверх задачей управления катастрофой на этом уровне является создание таких условий, чтоб народ не взбунтовался даже при стрессовых воздействиях. И, заметьте, все эти задачи решаются сейчас не интуитивно, а с помощью достаточно развитого математического аппарата – теорией катастроф. Например, бунт в тюрьме грубо описывается именно приведенной, простенькой в общем, функцией.

Ну а что касается способности управления даже математически точно описанными процессами....
Кхе. Поделюсь вчерашними ночными экзерсисами. Ну... это не то что хотелось бы подумать, просто на крышу телескоп вытащил и игрался с автогидом. Авто гид - это такая небольшая труба-телескопчик, которая наводится на звезду, на нее цепляется камера и картинка направляется в программу, которая по отклонению изображения звезды на матрице дает команды на корректировку основной трубы телескопа. Схема известная, и самое ценное в этой схеме - это алгоритм, который описывается системой уравнений, чуточку посложнее чем в примере выше в этой теме. основная сложность заключается в том, что у корректирующих функций есть свои экстремумы - то есть катастрофы, но самое паршивое, что они имеют разрывы. Если система попадает в точку разрыва, то гид теряет путеводную звезду и гидирование прерывается. Катастрофа, как она есть :)

Но как и любая другая катастрофа эта - так же управляема. То есть существует набор коэффициентов в уравнении (которые отвечают за коррекцию дрожания звезды, погрешности ведения, агрессивность коррекции) подбором которых катастрофу можно предотвратить. А если она таки произошла, то мигом перестроиться и вернуть телескоп под управление. Обратите внимание - процесс полностью описывается математически, а я сижу и подбираю с полдесятка констант, которые управляют поведением системы. Какие-то комбинации приводят к немедленной катастрофе, а какие-то достаточно эффективные. Более того иногда алгоритмы предсказания хорошо помогают ведению, а иногда - путают. Самое занятное, что если я точно так же выставлю телескоп по той же самой звезде, при тех же самых константах, то телескоп будет двигаться
по совершенно иной траектории, и может успеть протянуть гидирование, а
может и сорваться сразу.